Шунин является воспитанником СДЮШОР "Динамо". В основном составе бело-голубых он дебютировал 21 апреля 2007 года в матче чемпионата России с командой "Химки". Однако затем сел на лавку, получив широкую известность лишь в 2012 году, когда в поединке против "Зенита" рядом с ним взорвалась петарда. У игрока были диагностированы ожог роговиц, век и конъюнктив обоих глаз, а также посттравматический отит правого уха со снижением слуха. В активе Шунина – бронзовые медали чемпионата России 2008 года, а также финал Кубка страны спустя четыре года. Удивительно, но в 2007 году он был признан "открытием сезона" по версии РФС, что до сих пор является его единственной личной наградой. Фанаты "Динамо" никогда Шунина не любили. Они говорят, что он "какой-то сладенький". По слухам, все детство вратарь провел на Рублевке, да и место в команде получил не за красивые глаза. Неудивительно, что в основном составе он появлялся только, когда получали травмы Владимир Габулов или Роман Березовский. В августе 2010 года Шунин женился на девушке по имени Вероника, а летом 2012 года у пары родился сын. Однако семья просуществовала недолго. В октябре 2013 года стало известно о разрыве отношений. Летом 2014 года Шунин начал судебный процесс с бывшей женой из-за ребенка. Антон, которому 27 января исполнилось 28 лет, всегда ходил в подающих надежды, но так их и не оправдал. Кто-то, возможно, сказал бы, что это проблемы обладателей этих надежд, но это уже скорее проблема всего российского футбола. С зарплатой в несколько миллионов евро в год роль запасного вполне устроит большинство подающих надежды игроков. Да и, судя по всему, футбол в жизни голкипера "Динамо" давно отошел на второе место. Шунин и Шишкова не собираются скрывать своих отношений, "пробивая" все новые светские тусовки на зависть рэперу Тимати.