Артем Шейнин родился в Москве 26 января 1966 года. В 1984—1986 годах служил в армии. Принимал участие в Афганской войне. Сержант ВДВ. В 1993 году окончил исторический факультет МГУ.
В 1996 году работал антропологом, много путешествовал по Чукотке и Сахалину. В этом же году увидел в газете объявление о том, что в программу «Бесконечное путешествие» на телеканале РТР требуется ведущий. Шейнин пришел на кастинг, но не прошел его. Тогда продюсер передачи Татьяна Фонина назначила его на должность редактора, кем он и проработал в течение года. Занимал аналогичную должность в ток-шоу «Национальный интерес с Дмитрием Киселевым».
Затем в качестве редактора и корреспондента принимал участие в работе над документальными фильмами из серии «Новейшая история» на НТВ («Афганский капкан», «Съезд побежденных», «Красный день календаря», «Первая Первая леди» и др.). Параллельно — шеф-редактор телепрограмм «Вместе» (программа о жизни стран СНГ, ОРТ и МГТРК «Мир»), «Забытый полк» с Евгением Кириченко (НТВ) и «Однокашники» с Егором Пироговым (ТВС).
С 2000 года по инициативе Татьяны Фониной Артем Шейнин стал сотрудничать с известным телеведущим Владимиром Познером. В 2000—2002 годах — шеф-редактор программы «Времена», в 2002—2008 годах — руководитель этой программы. С 2008 года — руководитель программы «Познер»; в данной должности, по словам Познера, занимается организацией съемок, к содержанию программы не имея отношения.
В 2007—2009 годах принимал участие в закадровом озвучивании сериалов для телеканала «2x2», среди которых «Рино 911», «Aqua Teen Hunger Force» (ATHF), «Злобный мальчик», «Доктор Кац», «Майти Буш», «Доктор Морф».
В конце августа 2016 года, после избрания ведущего ток-шоу «Время покажет» Петра Толстого депутатом Государственной думы, Шейнин занял его место. До этого он неоднократно принимал участие в этой программе в качестве эксперта. В первой передаче 2017 года Шейнина сменил ведущий Анатолий Кузичев.
С 23 января по 20 июля 2017 года — ведущий ток-шоу «Первая студия». С апреля этого же года периодически продолжает вести передачу «Время покажет», после закрытия «Первой студии» становится основным ведущим «Время покажет». В 2017 году был номинирован на премию ТЭФИ в категории «Вечерний прайм» в номинации «Ведущий общественно-политического ток-шоу прайм-тайма» за свою работу на передаче «Первая студия».
Автор книг и фильмов об Афганской войне. При содействии Шейнина в 2017 году Союз писателей ЛНР выпустил сборник прозы, поэзии и драматургии «Выбор Донбасса».
В начале 2018 года в интервью на радио MediaMetrics сравнил свою работу телеведущим с боевыми действиями в Донбассе. При этом он отметил, что сам не поехал воевать из-за возраста.