Бари Алибасов родился 6 июня 1947 года в казахстанском городе Чарске в многодетной семье. С детства он проявлял себя как творческая натура, занимался музыкой, танцевал и пел. Еще в школе он собрал свой первый музыкальный коллектив, с которым выступал в местных колхозах. С поведением у Бари были проблемы, за это его даже исключили из комсомола, при этом несколько раз грозили выгнать из школы.
Получив аттестат зрелости, Бари переехал в Усть-Каменогорск и стал учиться в институте на архитектора. Там Алибасов вместе со своим приятелем Михаилом Араповым создал при студенческом клубе джаз-группу "Интеграл", в это время была написана первая песня под названием "Весенний дождь".
К 1969 году "Интеграл" достиг заметной популярности, так что коллектив приглашали выступать в Алма-Ату и другие города республики. Но Бари ушел в армию, где создал группу "Задор". Вернувшись через два года домой, Бари возродил "Интеграл". С 1973 года группа смогла получить официальный статус ВИА. Джаз-квинтет принимал участие во многих конкурсах и фестивалях: в частности, стал лауреатом фестиваля "Дружба народов" в Алма-Ате.
По инициативе Бари, ансамбль использовал на сцене различные эффекты – пиротехнику, кино, декорации и свет, что было необычно для того времени. Поэтому выступления коллектива были настоящими "шоу" и привлекали к себе внимание.
Со временем ВИА "Интеграл" стал профессиональной рок-группой. Из-за цензуры ее не пускали на телевидение и радио, были проблемы с организацией записей. При этом некоторые мелодии коллектива звучали в кинофильмах и мультфильмах.
В 1980 году "Интеграл" стал лауреатом тбилисского рок-фестиваля. Музыкантов пригласили в Москву, где они отыграли первый концерт. В 1985 году коллектив принял участие в двенадцатом фестивале молодежи и студентов. Группа просуществовала двадцать два года, что весьма немало, и успела поэкспериментировать в самых разных стилях: от блюза и рок-н-ролла до кантри и психоделики.
В 1988 году Бари наскучила рок-музыка и у него появилась идея создать молодежный "бэнд". В 1989 году в Москве он начал конкурсный отбор талантов. Те, кого он отобрал, стали в итоге вокалистами группы "На-На". Первые выступления прошли на ура, и новый коллектив окрестили "Открытием года". Менее чем за год хиты "На-На" поднялись на вершины всевозможных хит-парадов. До середины 90-х группа была одним из самых громких и успешных проектов в России.
В качестве художественного руководителя группы "На-На" Бари создал девять шоу-программ и написал множество песен из ее репертуара.
В Чарске, родном городе артиста и продюсера, есть улица, названная в честь Алибасова, а в школе, которую он окончил, – музей, где представлены некоторые из его вещей. Группа "На-На" существует и по сей день, хотя ее состав неоднократно менялся. Из других граней личности Бари можно выделить увлечение фотографией, которой он занимается более двадцати лет.
Что касается личной жизни, то Алибасов женат в шестой раз на актрисе Виктории Максимовой, своей бывшей помощнице. В 2016 году у них родился сын Иван.
Первый же раз Бари женился сразу после школы, но семья вскоре распалась. Помимо еще пяти официальных браков у Алибасова было множество гражданских союзов. От брака с Еленой Уронич у него есть сын – Бари Алибасов (родился в 1985 году).
Первая школьная любовь Бари Светлана Боховчук однажды заявила, что известный продюсер является отцом ее внебрачной дочери Веры.