Его мать — Ирина Леонидовна Корчевникова Заслуженный работник культуры Российской Федерации, с 1973 года работала во МХАТе им. А. П. Чехова — заместителем главного инженера, помощником Олега Ефремова, потом замдиректора, с 2000 года была директором музея МХАТа. В данный момент является директором Театра кукол имени С. В. Образцова. В 2007 году была награждена орденом Почета.
Борис рос без отца. Тем не менее, они познакомились, когда Борису было 13 лет. Отец — Вячеслав Евгеньевич Орлов, ранее работал заведующим художественно-постановочной частью Театра имени Владимира Маяковского у режиссера Андрея Гончарова, затем более 30 лет работал директором Театра имени Пушкина, в сентябре 2012 года покинул свой пост по состоянию здоровья, став президентом театра, умер 13 октября 2015 года на 70-м году жизни. Кроме сына, у него есть еще дочь на 12 лет старше, работает учительницей начальных классов.
7 августа 2015 года в передаче «Прямой эфир» Корчевников сообщил, что 14 июля 2015 года перенес операцию по удалению доброкачественной опухоли головного мозга, которая затронула слуховой нерв.
В декабре 2015 года Корчевников заявил в интервью, что женат не был, а «информация в прессе о свадьбе с актрисой Сесиль Свердловой была преждевременной».
В 1998 году поступил на актерский факультет Школы-студии МХАТ и на факультет журналистики МГУ одновременно, но в конечном итоге принял решение получать высшее образование в МГУ. В 2003 году окончил факультет журналистики МГУ.
Успех и известность пришли к нему после выхода на экраны сериала о жизни суворовцев «Кадетство». Фильм имел колоссальную популярность среди подростков, а актеры, в том числе и Корчевников, даже ездили в турне по стране.
С 13 мая 2013 года по 25 августа 2017 года — ведущий ток-шоу «Прямой эфир» на телеканале «Россия-1», сменил на этом месте Михаила Зеленского.
3 мая 2017 года по благословению Святейшего Патриарха Московского и всея Руси Кирилла назначен генеральным директором и генеральным продюсером общественного православного телеканала «Спас». Сменил на занимаемом посту Бориса Костенко.
C 2 октября 2017 года — ведущий проекта «Судьба человека» на телеканале «Россия-1».