Дмитрий с детства играет в футбол. Является воспитанником СДЮШОР «Спартак» (Москва). По окончании контракта со столичной командой перешел в «Томь», где отработал три сезона.
В чемпионате 2009 года Тарасов сыграл за «Москву» 25 матчей и забил два гола. Был приглашен главным тренером национальной сборной Гусом Хиддинком на один из сборов команды. После окончания чемпионата подписал трехлетний контракт с московским «Локомотивом».
26 ноября 2009 года Тарасову было присвоено звание Мастер спорта России. Свой первый гол за «Локомотив» Тарасов забил 4 апреля 2010 года в ворота «Динамо» Москва.
Постоянным игроком основы и вице-капитаном команды Дмитрий стал при хорватском тренере Славене Биличе, играя в центре полузащиты в паре с Яном Тигоревым. Наибольшего прогресса Тарасов достиг в сезоне 2013/2014 при Леониде Кучуке. Дмитрий стал одним из лучших центральных полузащитников чемпионата России.
15 ноября 2013 года дебютировал за сборную России, выйдя на замену в матче против сборной Сербии. 19 ноября забил свой первый гол за сборную в ворота сборной Южной Кореи, этот гол оказался победным для сборной России.
Зимой 2014 года Дмитрий получил тяжелую травму ноги, из-за которой пропустил остаток сезона и упустил шанс поехать на чемпионат мира в Бразилию. Возвратился на поле только в следующем сезоне 2014/2015, который получился неудачным из-за постоянных травм и дисквалификаций.
16 февраля 2016 года после первой игры 1/16 финала Лиги Европы между турецким «Фенербахче» и московским «Локомотивом» Тарасов снял игровую футболку, под которой оказалась майка с изображением Владимира Путина и надписью «самый вежливый президент». Комитет УЕФА по этике открыл дело против московского «Локомотива», из-за нарушения пункта регламента соревнований УЕФА, который запрещает игрокам показывать политические или религиозные лозунги и заявления, а также рекламу.