Впервые трио мелких правонарушителей Трус-Балбес-Бывалый появилось в эксцентричных короткометражных комедиях Леонида Гайдая "Пес Барбос и необычный кросс" и "Самогонщики", объединенных в альманахе "Совершенно серьезно". Евгений Моргунов был неформальным лидером веселой шайки – массивный, сильный, уверенный в себе мужчина с бритой наголо головой. К моменту выхода картины в 1961 году Моргунов успел сняться в трех десятках фильмов, к примеру, у Сергея Герасимова в "Молодой гвардии".
После появления на экране тройки великовозрастных хулиганов Евгений Моргунов стал, как говорят в кино, актером одной роли. Кличка Бывалый приклеилась к нему на долгие годы. В этом амплуа он вновь выступил в 1965 году в картине "Операция "Ы" и другие приключения Шурика".
Похождения уже ставшей знаменитой на всю страну троицы продолжились в фильме "Кавказская пленница, или Новые приключения Шурика". Здесь образ Бывалого раскрылся во всей красе. Достаточно вспомнить, как Евгений Моргунов проводит занятия в школе танцев.
Великолепная троица снова появляется в фильме Евгения Карелова "Семь стариков и одна девушка". Роль была эпизодической, но запоминающейся. Правда, один из представителей легендарной троицы – Юрий Никулин (Балбес) – сказал как-то, что в этой картине они втроем выглядели как инородное тело, совсем не сочетаясь со смыслом.
После 1980 года Евгений Моргунов стал актером эпизода. Но была еще одна запоминающаяся роль – поэт Соев в "Покровских воротах", напомнивший с экрана о судьбе Грибоедова: "он плохо кончил". Но в основном, несмотря на опыт, любовь и признание, Моргунова брали на роли "хозяина козы" и "пьяного футбольного судьи".
Последней киноработой Евгения Моргунова стала картина "Райское яблочко", снятая в 1998 году. Он сыграл начальника охраны Всеволода Тюбикова. Но, несмотря на отсутствие главных ролей в карьере Евгения Александровича, это не помешало ему вписать свое имя в историю отечественного кинематографа.